Les fonctions :

Les fonctions sont très présentes dans toutes les sciences car elles permettent d'étudier comment des variables évoluent par rapport à d'autres variables (par exemple une population d'animaux en fonction de la population de leurs prédateurs, la luminosité d'une étoile en fonction de sa distance et de son âge...).

Nous avons déjà vu les fonctions en troisième avec notamment la représentation graphique et le calcul d’image et d’antécédents. Nous allons voir maintenant ce qu'est l'ensemble de définition d'une fonction, le tableau de variations d'une fonction et nous allons étudier quelques fonctions qui apparaissent souvent comme la fonction carré et la fonction inverse.

Ensemble de définition :

L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f(x).

Comment déterminer l'ensemble de définition:

Fonction avec racine carrée :
Si la fonction contient une racine carré, il faut que l'expression sous la racine soit positive pour que l'on puisse calculer les images. Dans le cas d'une fonction f:x→ √g(x) on résout donc l’inéquation g(x)≥0. Les solutions de cette inéquation seront l'ensemble de définition de f.

Fonction avec quotient :
Si l'expression de la fonction contient un quotient, il faut que le dénominateur soit non nul pour que l'on puisse calculer les images. Dans le cas d'une fonction f:x→(g(x))/(h(x)) on résout donc l’équation h(x)=0. Pour l'ensemble de définition il faudra retirer aux réelles les solutions de cette équation.

Variation de fonction :

Fonction croissante :
Si, sur un certain intervalle de x, la courbe d'une fonction monte alors on dit que la fonction est croissante sur cet intervalle. Une fonction croissante conserve l'ordre des images, c'est à dire que si a et b sont deux nombres tels que a < b alors f(a) < f(b).

Fonction décroissante :
Si, sur un certain intervalle de x, la courbe d'une fonction descend alors on dit que la fonction est décroissante sur cet intervalle. Une fonction décroissante change l'ordre des images : si a et b sont deux nombres tels que a < b alors f(a) > f(b).

Tableau de variation :

Comment faire un tableau de variation ?

1. On écrit sur une ligne les valeurs de x pour lesquelles le sens de variation change.

2. En dessous on symbolise par des flèches les variations de f.

3. Aux extrémités des flèches, on écrit les valeurs prises par la fonction.

Fonction carré, fonction inverse :

Fonction carré :
La fonction f:x→x², dont nous avons tracé ci-dessus le tableau de variation, s'appelle la fonction carré. Sa représentation graphique s'appelle une parabole.

Fonction inverse :
La fonction f:x→ 1/x est la fonction inverse. Sa représentation graphique s'appelle une hyperbole.